均值 = (52+48+51+49+50+53+47+52+50+180)/10 = 63.2 秒
中位数 = 排序后第 5、6 个的平均 = (50+51)/2 = 50.5 秒

→ 均值被那次异常拉高了 25%，中位数更接近实际

A 线：生产大型件，平均工时 120 秒，标准差 6 秒
B 线：生产小型件，平均工时 15 秒，标准差 1.5 秒

用标准差比较：A 的 6 > B 的 1.5，A 更不稳定
用变异系数比较：CV_A = 5%，CV_B = 10%
→ 实际上 B 线的相对波动更大，B 更不稳定

不良原因统计：
    外观划伤   145 件   (50.9%)
    尺寸超差    78 件   (27.4%)   累计 78.3%
    装配不良    32 件   (11.2%)   累计 89.5%
    功能失效    18 件    (6.3%)   累计 95.8%
    其他        12 件    (4.2%)   累计 100%

点估计 ± 边际误差
    = 点估计 ± (临界值) × (标准误)

x̄ ± z_{α/2} × σ/√n

x̄ ± t_{α/2, n-1} × s/√n

场景：要确定某装配工序的标准工时
抽样：随机观测 25 次，得到：
    样本均值 x̄ = 48.5 秒
    样本标准差 s = 4.2 秒

求总体平均工时的 95% 置信区间：

由于 σ 未知，用 t 分布，自由度 = 24
t_{0.025, 24} = 2.064

置信区间 = 48.5 ± 2.064 × 4.2/√25
         = 48.5 ± 2.064 × 0.84
         = 48.5 ± 1.73
         = (46.77, 50.23) 秒

结论：我们有 95% 的把握，该工序的真实平均工时在 46.8 到 50.2 秒之间。

n = (z_{α/2} × σ / E)²

其中 E 是允许的误差（边际误差）

要求：以 95% 置信度估计标准工时，误差不超过 ±1 秒
已知：σ ≈ 4 秒（来自历史数据或预抽样）

n = (1.96 × 4 / 1)² = 61.5 → 取 62 次

结论：需要观测 62 次才能满足精度要求。

1. 提出原假设 H₀（通常表示「没有差异」「没有效果」）
2. 提出备择假设 H₁（表示「有差异」「有效果」）
3. 假设 H₀ 为真，计算得到当前样本（或更极端）结果的概率 p
4. 如果 p 很小（< α，通常 0.05），说明 H₀ 为真时几乎不可能出现这样的结果
   → 拒绝 H₀，接受 H₁
   否则不拒绝 H₀

H₀：被告无罪
第一类错误：无辜的人被判有罪（冤枉好人）
第二类错误：有罪的人被判无罪（放过坏人）

步骤 1：建立假设
    H₀：μ = μ₀（或 μ₁ = μ₂，表示无差异）
    H₁：μ ≠ μ₀（或 μ₁ ≠ μ₂，表示有差异）  ← 双尾
       （或 μ > μ₀，μ < μ₀）              ← 单尾

步骤 2：选择检验统计量，确定显著性水平 α（通常 0.05）

步骤 3：计算检验统计量的值和 p 值

步骤 4：做出决策
    p < α → 拒绝 H₀
    p ≥ α → 不拒绝 H₀

H₀：μ_d = 0（改善无效）
H₁：μ_d < 0（改善后时间更短，有效）

计算差值：
    d̄ = (-6-3-5-3-4-4-5-3-4-4)/10 = -4.1
    s_d = 0.994
    n = 10

检验统计量：
    t = d̄ / (s_d/√n) = -4.1 / (0.994/√10) = -4.1 / 0.314 = -13.05

自由度 = 9，单尾检验
查 t 分布表：t_{0.05, 9} = 1.833（单尾）

|t| = 13.05 > 1.833 → 拒绝 H₀

结论：p < 0.001，改善后工时显著下降，改善措施有效。

A 线：n₁=15, x̄₁=52 秒, s₁=5.2
B 线：n₂=15, x̄₂=48 秒, s₂=4.8

H₀：μ_A = μ_B
H₁：μ_A ≠ μ_B（双尾）

（假设方差齐性，用合并方差）

    (n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²
s_p² = ────────────────────
          n₁ + n₂ - 2
     = (14×27.04 + 14×23.04) / 28
     = (378.56 + 322.56) / 28 = 25.04
s_p = 5.004

        x̄₁ - x̄₂            52 - 48
t = ───────────────── = ───────────────── = 2.19
    s_p√(1/n₁ + 1/n₂)    5.004 × √(2/15)

自由度 = 28，双尾
t_{0.025, 28} = 2.048

|t| = 2.19 > 2.048 → 拒绝 H₀

结论：p < 0.05，两条产线的工时存在显著差异，B 线更快。

某改善使工时从 50.0 秒降到 49.8 秒
样本量 n = 10000，标准差 s = 5

t = 0.2 / (5/√10000) = 0.2/0.05 = 4.0 → p < 0.001，统计显著

但：0.2 秒的改善，在实际生产中有意义吗？
→ 每小时生产 72 件，节省 14.4 秒/小时 = 0.4%
→ 实际意义极小

结论：统计显著 ≠ 实际重要。必须结合效应量和业务意义判断。

1 - (1 - 0.05)³ = 1 - 0.857 = 0.143

总变差 SST = 组间变差 SSB + 组内变差 SSW

SST = ΣΣ(x_ij - x̄)²       全部数据与总均值的差异
SSB = Σ n_j(x̄_j - x̄)²     各组均值与总均值的差异（反映处理效应）
SSW = ΣΣ(x_ij - x̄_j)²     组内数据与组均值的差异（反映随机误差）

F = MSB / MSW = (SSB/(k-1)) / (SSW/(N-k))

其中 k 是组数，N 是总样本量

场景：比较三种装配工艺的单位工时，每种工艺测 5 次

工艺 A: 45, 48, 46, 47, 49   → x̄_A = 47.0
工艺 B: 42, 44, 43, 45, 41   → x̄_B = 43.0
工艺 C: 50, 52, 49, 51, 48   → x̄_C = 50.0

总均值 x̄ = (47+43+50)/3 = 46.67

SSB = 5×[(47-46.67)² + (43-46.67)² + (50-46.67)²]
    = 5×[0.11 + 13.47 + 11.11] = 5 × 24.69 = 123.45

SSW = Σ 各组内部变差
    A: (45-47)²+(48-47)²+(46-47)²+(47-47)²+(49-47)² = 4+1+1+0+4 = 10
    B: (42-43)²+(44-43)²+(43-43)²+(45-43)²+(41-43)² = 1+1+0+4+4 = 10
    C: (50-50)²+(52-50)²+(49-50)²+(51-50)²+(48-50)² = 0+4+1+1+4 = 10
    SSW = 30

方差分析表：
    来源    SS      df    MS      F
    组间   123.45    2    61.73   24.69
    组内    30.00   12     2.50
    总计   153.45   14

F_{0.05, 2, 12} = 3.89

F = 24.69 > 3.89 → 拒绝 H₀

结论：三种工艺的工时存在显著差异（p < 0.001）。

举例：
    工艺 A 在白班的效率是 47 秒，夜班是 55 秒
    工艺 B 在白班的效率是 43 秒，夜班是 44 秒

    → 工艺 B 普遍更快（主效应显著）
    → 但工艺 A 在夜班效率下降明显，工艺 B 几乎不受影响（存在交互效应）

    结论：如果产线有夜班，选择工艺 B 的价值更大

y = β₀ + β₁x + ε

ŷ = b₀ + b₁x  （拟合的回归方程）

其中（最小二乘法）：
    Σ(x_i - x̄)(y_i - ȳ)
b₁ = ─────────────────── 
       Σ(x_i - x̄)²
    
b₀ = ȳ - b₁x̄

SST（总变差）= Σ(y - ȳ)²        数据的总变异
SSR（回归变差）= Σ(ŷ - ȳ)²       模型解释的变异
SSE（残差变差）= Σ(y - ŷ)²       模型未解释的变异

R² = SSR / SST

场景：研究工人经验（月）与单位产品工时（秒）的关系

数据（经验 x，工时 y）：
(3, 52) (6, 48) (9, 45) (12, 43) (15, 40) (18, 38) (21, 36) (24, 35)

计算：
    x̄ = 13.5, ȳ = 42.125
    Σ(x-x̄)(y-ȳ) = -535.5
    Σ(x-x̄)² = 378

    b₁ = -535.5 / 378 = -1.417
    b₀ = 42.125 - (-1.417)(13.5) = 42.125 + 19.13 = 61.25

回归方程：ŷ = 61.25 - 1.417x

解读：工人经验每增加 1 个月，单位产品工时平均减少 1.42 秒。

R² 计算（略）：假设 R² = 0.96
→ 经验可以解释工时变异的 96%，模型拟合很好

ŷ = b₀ + b₁·(零件数量) + b₂·(装配复杂度) + b₃·(工位布局得分) + ...

普通 R² 会随着自变量增加而单调增大（即使加入无用变量）
调整后 R² 会对变量个数进行惩罚

建模时应看调整后 R²，而不是 R²

2 因子 2 水平：2² = 4 次试验
3 因子 2 水平：2³ = 8 次试验
4 因子 2 水平：2⁴ = 16 次试验

A 的主效应 = [(51-42) + (62-48)] / 2 = (9 + 14)/2 = 11.5
B 的主效应 = [(48-42) + (62-51)] / 2 = (6 + 11)/2 = 8.5
AB 交互效应 = [(62-51) - (48-42)] / 2 = (11 - 6)/2 = 2.5

n：试验次数
m：水平数
k：最多可安排的因子数

步骤 1：确定因子和水平
步骤 2：选择合适的正交表，安排试验方案
步骤 3：按方案做试验，记录响应值
步骤 4：数据分析
    · 直观分析法（极差分析）：计算各因子各水平的平均响应，画图
    · 方差分析：判断哪些因子显著
步骤 5：确定最优组合
步骤 6：验证试验（在最优条件下做几次确认性试验）

计算每个因子在每个水平下的响应平均值：
    K_ij = 第 j 列第 i 水平对应的响应之和
    k_ij = K_ij / (该水平出现次数)

极差 R_j = max(k_ij) - min(k_ij)

极差越大 → 该因子对响应的影响越大 → 越重要

某试验 4 因子 3 水平，响应为良率（越大越好）

因子 A（温度）：k_A1 = 82%, k_A2 = 91%, k_A3 = 86%   → R_A = 9%
因子 B（压力）：k_B1 = 85%, k_B2 = 87%, k_B3 = 87%   → R_B = 2%
因子 C（时间）：k_C1 = 80%, k_C2 = 86%, k_C3 = 93%   → R_C = 13%
因子 D（湿度）：k_D1 = 86%, k_D2 = 86%, k_D3 = 87%   → R_D = 1%

因子重要性排序：C（13%）> A（9%）> B（2%）> D（1%）

最优组合：A2 + B2(或B3) + C3 + D3

y = β₀ + Σβ_i x_i + Σβ_ii x_i² + ΣΣβ_ij x_i x_j + ε

能拟合曲面，找到极值点（驻点）

1. 筛选试验（部分因子设计）→ 找出关键因子
2. 最速上升法 → 快速接近最优区域
3. 响应面设计（CCD）→ 在最优区域拟合二次模型
4. 求解最优参数组合
5. 验证试验

控制界限 = μ ± 3σ  （3σ 原则）

根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布
落在 ±3σ 之外的概率仅约 0.27%

X̄ 图：
    UCL = x̄̄ + A₂·R̄
    CL  = x̄̄
    LCL = x̄̄ - A₂·R̄

R 图：
    UCL = D₄·R̄
    CL  = R̄
    LCL = D₃·R̄

其中 x̄̄ 是各子组均值的平均，R̄ 是各子组极差的平均
A₂、D₃、D₄ 是系数（查表，取决于子组大小 n）

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# 读取数据
df = pd.read_csv('production_data.csv')

# 描述统计
print(df['cycle_time'].describe())
print(df.groupby('shift')['cycle_time'].agg(['mean', 'std', 'count']))

# 正态性检验（Shapiro-Wilk）
stat, p = stats.shapiro(df['cycle_time'])
print(f'Shapiro-Wilk: W={stat:.4f}, p={p:.4f}')

# 方差齐性检验（Levene）
stat, p = stats.levene(group_a, group_b, group_c)

# 独立样本 t 检验
t, p = stats.ttest_ind(before, after)
print(f't={t:.4f}, p={p:.4f}')

# 配对 t 检验
t, p = stats.ttest_rel(before, after)

# 单因素方差分析
f, p = stats.f_oneway(group_a, group_b, group_c)

# 双因素方差分析（带交互作用）
model = smf.ols('time ~ C(method) * C(shift)', data=df).fit()
print(sm.stats.anova_lm(model, typ=2))

# 线性回归
model = smf.ols('cycle_time ~ experience + complexity', data=df).fit()
print(model.summary())   # 输出 R²、系数、p 值等

# 相关分析
r, p = stats.pearsonr(df['x'], df['y'])
rho, p = stats.spearmanr(df['x'], df['y'])   # 秩相关（非正态时用）

# 置信区间
mean = df['cycle_time'].mean()
sem = stats.sem(df['cycle_time'])
ci = stats.t.interval(0.95, len(df)-1, loc=mean, scale=sem)

拿到数据 →
    目的是描述？→ 描述统计 + 图表
    目的是估计？→ 置信区间
    目的是比较？→
        两组？→ t 检验（独立 or 配对）
        多组？→ ANOVA + 多重比较
    目的是找关系？→ 相关 + 回归
    目的是找最优？→ DOE
    目的是监控？→ SPC